El modelo de Vasicek: Perspectivas histórica y risk-neutral

El modelo de Vasicek es ampliamente utilizado para modelar tasas de interés. Sin embargo, su comportamiento puede variar significativamente dependiendo de si se ajusta bajo una medida histórica o una medida neutral al riesgo.

El modelo de Vasicek es uno de los modelos clásicos para representar la evolución estocástica de las tasas de interés. Su formulación base es:

donde:

• $r_t$ es la tasa de interés a tiempo $t$,
• $a$ es la velocidad de reversión,
• $b$ es el nivel a largo plazo de la tasa,
• $\\sigma$ es la volatilidad,
• $W_t$ es un movimiento Browniano.

Perspectiva histórica

Cuando el modelo de Vasicek se calibra bajo la medida histórica (también conocida como medida real $\\mathbb{P}$), su objetivo principal es describir el comportamiento observado en los datos históricos de tasas de interés. Es decir, se utiliza para simular escenarios futuros en contextos de riesgo real y es común en análisis de riesgo como Value at Risk (VaR) o análisis de stress.

En este caso, los parámetros $a, b, \\sigma$ se estiman directamente de series temporales de tasas observadas.

Perspectiva risk-neutral

Bajo la medida neutral al riesgo ($\\mathbb{Q}$), el modelo se adapta para que los precios derivados calculados usando el modelo estén libres de oportunidades de arbitraje. En esta medida, se ajusta el proceso para que los valores esperados descontados de los instrumentos financieros sean consistentes con los precios de mercado.

Aquí, los parámetros $a^*, b^*, \\sigma$ pueden diferir notablemente de los estimados en $\\mathbb{P}$. Por ejemplo, el parámetro $b^*$ refleja una tasa de interés de largo plazo implícita en los precios de mercado, no necesariamente observada históricamente.

Diferencias clave

Conclusión

Entender la diferencia entre estos enfoques es clave. Mientras el modelo bajo $\\mathbb{P}$ te ayuda a entender el comportamiento "natural" de las tasas, el modelo bajo $\\mathbb{Q}$ es esencial para valorar instrumentos financieros correctamente.

Ambos enfoques pueden coexistir en una misma institución, dependiendo del objetivo del análisis: simulación o valoración.